基本图形的应用浅谈中考几何压轴题的解题技巧-赵桂芳名师工作室

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——基本图形的应用 浅谈中考几何压轴题的解题技巧-赵桂芳名师工作室

书上有路勤为径,学海无涯苦作舟.在几何的题海中,图形千遍万化,但并非无据可循.比如,将同一个基本图形放到不同的背景中,就会得到大量表面上变幻莫测,但本质相同的题目.下面,谢思潇以“一线三等角”和“双等边三角形”为例,谈一谈基本图形在几何中的应用.
一、“一线三等角”的原型及变式
原型:如图1,在正方形ABCD中,E为BC上任意一点(与B、C不重合),∠AEF=90°.观察图形:△ABE和△ECF是否相似单手换弹夹?并证明你的结论.

很显然,学生通过相似三角形的“角角定理”易证出△ABE∽△ECF.
变式1. 如图2,若∠B=∠C=∠AEF,上述三角形还能相似吗?
学生通过三角形内角和定理以及平角的性质,易证出∠A=∠FEC,这样就可以得出△ABE∽△ECF.
归纳这类图形,不难发现它们的共同特征:三个相等的角的顶点在同一条直线上,我们给这个基本图形成为——一线三等角.其中∠B=90°是它的特殊情形.

变式2 如图3辣炒海瓜子,把三角板的直角顶点放置BC中点E处,三角板绕点E旋转,当三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F时永吉天气预报 ,若正方形ABCD的边长为2,设AG=x,GF=y画虎烂,
(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的自变量的取值范围;
(2)如图4,连接AC,交GF于点Q,交EF于点P.当△AGQ和△CEP相似时,求线段AG的长.

通过观察图形天宠岛,学生不难发现这就是典型的“一线三等角”模型.而本题中E点是BC的中点,那除了可得出△GBE∽△ECF外,而且△GBE∽△GEF摩西十戒,此处可由△GBE∽△ECF,且BE=EC,又∠B=∠GEF,由两边对应成比例且夹角相等判定相似.

对于(1)问,可由有相似三角形对应边成比例列方程,由△GBE∽△GEF方正谭黑,得
所以,对于第(2)问金炳昶,当△AGQ和△CEP相似时,首先∠GAQ=∠ECP,那么如图5第一种∠AQG=∠PEC时,△AGQ∽△CEP,又因为由△GEF∽△GBE∽△ECF,得∠PEC=∠BGE=∠EGF,所以∠AQG=∠EGF,所以GE∥AB,所以G是AB的中点,得AG=1.
如图6第二种,∠AGQ=∠PEC时,△AGQ∽△CEP闪学网,又因为由

△GEF∽△GBE∽△ECF,得∠PEC=∠BGE=∠EGF,所以∠AGQ=∠BGE=∠EGF=60°,所以易解。
对于变式2,结合了初三中考的要求,强化了动态几何在题组中的作用,是一个比较综合的压轴题.通过函数关系式建立和求线段AG的长,渗透常用的数学思想(如函数思想、方程思想、分类讨论思想、化归思想等,)同时有考查了几何和代数中的重点内容.
二、双等边三角形模型的原型及应用
原型:如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.

可得到的结论:
全等三角形:△ACD≌△BCE,△ACP≌△BCQ,△PCD≌△QCE
相等的线段:AD=BE;PC=CQ=PQ;AP=BQ
相等的角:∠BOA=∠BCD=∠DOE=60°
△BCE是正三角形;CQ平分∠AOE
双等边三角形中可以有全等得到许多相等的线段,相等的角.同时,还可以将双等边三角形变形为双等腰直角三角形,双正方形以及旋转正多边形等.在2014年沈阳中考中,就有着这类模型.
(2014沈阳24)如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.

(1)求AO的长;
(2)如图2,当点F在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时,求证:AC=根号3AM;
(3)连接EM,若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.


本题主要考查四边形的综合题,解题的关键是灵活运用双等边三角形的性质及菱形的性质,使得题目得到很大的简化.
学生对于基本图形的掌握程度,很大程度上能帮助他们迅速有效的找到解决中考几何压轴题的思路,是复杂的题目变得简介清晰.学生在学习几何图形时,教师应有侧重点的引导学生归纳总结出基本几何图形,帮助学生建立几何直观,学会用模型思想解决问题.
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